定义：
形如y
=
x
a
y = x^ay=xa（其中a
aa为常数）的函数，表示自变量为底数，因变量为幂，且指数为常数的函数，称为幂函数。
定义域和值域：
对于不同的a
aa值，幂函数的定义域存在不同情况。具体如下：
当a
aa为任意实数时，幂函数的定义域是所有大于0的实数；
当a
aa为负数时，x
xx不能为0，但此时定义域还需根据q
qq的奇偶*来决定：
如果q
qq是偶数，则x
xx不能小于0，定义域为所有大于0的实数；
如果q
qq是奇数，则定义域为所有非零实数。
关于幂函数的值域，当x
xx取不同值时情况如下：
当x
>
x >0x>0时，值域始终为大于0的实数；
当x
<
x< 0x
a > 0a>0时，0 会出现在值域内。
*质：
当a
aa为非零有理数时，需根据不同情况讨论其*质：
排除a
=
a = 0a=0和负数的情况，若x
>
x >0x>0，则a
aa可为任意实数；
排除a
=
a = 0a=0的情况，若x
xx为所有实数，且q
qq不能为偶数；
排除负数的情况，若x
≥
x \geq 0x≥0，则a
aa不能为负数。
综合来说，幂函数的定义域在a
aa不同取值下的不同情况如下：
当a
aa为任意实数时，定义域是所有大于0的实数；
当a
aa为负数时，x
xx不能为0，但定义域需根据q
qq的奇偶*确定：
如果q
qq为偶数，定义域为所有大于0的实数；
如果q
qq为奇数，定义域为所有非零实数。
对于x
>
x >0x>0，幂函数的值域始终为大于0的实数；
对于x
<
x< 0x
a >0a>0时，0才会出现在值域中。
由于x
>
x >0x>0对于任意a
aa值都有意义，下面讨论幂函数在第一象限的几种情况：
所有图形都通过点(
1
,
1
)
(1,1)(1,1)；
当a
>
a >0a>0时，幂函数为单调递增；当a
<
a< 0a
1
a >1a>1时，幂函数图形呈下凹；当0
<
a
<
1
0< a < 100时，函数经过点(
,
)
(0,0)(0,0)；当a
<
a< 0a
反比例函数知识点总结2
反比例函数
形如y=k/x(k为常数且k≠0)的函数，叫做反比例函数。
自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。
反比例函数图像*质：
反比例函数的图像为双曲线。
由于反比例函数属于奇函数，有f(-x)=-f(x),图像关于原点对称。
另外，从反比例函数的解析式可以得出，在反比例函数的图像上任取一点，向两个坐标轴作垂线，这点、两个垂足及原点所围成的矩形面积是定值，为?k?。
如图，上面给出了k分别为正和负(2和-2)时的函数图像。
当k>0时，反比例函数图像经过一，三象限，是减函数
当k<0时，反比例函数图像经过二，四象限，是增函数
反比例函数图像只能无限趋向于坐标轴，无法和坐标轴相交。
知识点：
1.过反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线段，这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的面积为|k|。
2.对于双曲线y=k/x，若在分母上加减任意一个实数(即y=k/(x±m)m为常数)，就相当于将双曲线图象向左或右平移一个单位。(加一个数时向左平移，减一个数时向右平移)
高一数学必修一函数像知识点总结3
I. 定义与定义表达式
在一般情况下，若自变量x
xx与因变量y
yy存在如下关系式：
y
=
a
x
2
+
b
x
+
c
y = ax^2 + bx + cy=ax2+bx+c
则称y
yy为x
xx的二次函数。
二次函数的表达式通常为一个包含二次项、一阶项和常数项的三项式。
II. 二次函数的三种表达式
一般式：y
=
a
x
2
+
b
x
+
c
y = ax^2 + bx + cy=ax2+bx+c（其中a
,
b
,
c
a, b, ca,b,c为常数，且a
≠
a \neq 0a=0）
顶点式：y
=
a
(
x
−
h
)
2
+
k
y = a(x - h)^2 + ky=a(x−h)2+k（其中抛物线的顶点为P
(
h
,
k
)
P(h, k)P(h,k)）
交点式：y
=
a
(
x
−
x
1
)
(
x
−
x
2
)
y = a(x - x_1)(x - x_2)y=a(x−x1)(x−x2)（适用于与x
xx-轴有交点A
(
x
1
,
)
A(x_1, 0)A(x1,0)和B
(
x
2
,
)
B(x_2, 0)B(x2,0)的抛物线）
注：在三种形式之间的转换中，存在以下关系：
h
=
−
b
2
a
,
k
=
4
a
c
−
b
2
4
a
,
x
1
,
x
2
=
−
b
±
b
2
−
4
a
c
2
a
h = -\frac{b}{2a}, \quad k = \frac{4ac - b^2}{4a}, \quad x_1, x_2 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}h=−2ab,k=4a4ac−b2,x1,x2=2a−b±b2−4ac
III. 二次函数的图像
在平面直角坐标系中，二次函数y
=
a
x
2
y = ax^2y=ax2的图像为一条抛物线。
IV. 抛物线的*质
轴对称*：抛物线是轴对称的，其对称轴为直线x
=
−
b
2
a
x = -\frac{b}{2a}x=−2ab。对称轴与抛物线的交点为抛物线的顶点P
PP。
特别地，当b
=
b = 0b=0时，对称轴是y
yy-轴（即直线x
=
x = 0x=0）。
顶点坐标：抛物线有一个顶点P
PP，其坐标为：
P
(
−
b
2
a
,
4
a
c
−
b
2
4
a
)
P\left( -\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a} \right)P(−2ab,4a4ac−b2)
当−
b
2
a
=
-\frac{b}{2a} = 0−2ab=0时，顶点位于y
yy-轴上；当判别式Δ
=
b
2
−
4
a
c
=
\Delta = b^2 - 4ac = 0Δ=b2−4ac=0时，顶点位于x
xx-轴上。
开口方向与大小：二次项系数a
aa决定抛物线的开口方向与大小。
当a
>
a >0a>0时，抛物线向上开口；
当a
<
a< 0a
ab >0ab>0）时，对称轴位于y
yy-轴的左侧；
当a
aa与b
bb异号（即a
b
<
ab< 0ab
\Delta = b^2 - 4ac >0Δ=b2−4ac>0时，抛物线与x
xx-轴有两个交点；
当Δ
=
b
2
−
4
a
c
=
\Delta = b^2 - 4ac = 0Δ=b2−4ac=0时，抛物线与x
xx-轴有一个交点；
当Δ
=
b
2
−
4
a
c
<
\Delta = b^2 - 4ac < 0Δ=b2−4ac
