“bluuush”通过精心收集，向本站投稿了8篇线性方程组的解的结构，以下是小编收集整理后的线性方程组的解的结构，仅供参考，希望对大家有所帮助。
篇1：线性方程组的解的结构
刘勇
(大连交通大学理学院 辽宁大连 116028)
摘 要:本文对非齐次线性方程组进行了深入的讨论,并给出了另一种刻画非齐次线性方程组解的结构的方法,即只用自身的有限个解来表示全部的解。从而使非齐次线性方程组解的结构更加完善。关键词:线性方程组 线性无关 解的结构中图分类号:G642文献标识码:A文章编号:1674-098X12(b)-0033-01
线性方程组理论是线性代数最基本的内容之一,它在数学的各个领域及其他学科的各个分支都有着广泛的应用。研究线性方程组解之间的关系及解的结构是线性方程组理论的核心内容。齐次线性方程组解的结构可以通过自身的有限个解来表示其全部解。而在一般的线性代数教材中关于非齐次线性方程组解的结构则是借助于它的'导出方程组的基础解系和它自身的一个解来表示。那么,非齐次线性方程组能否也像齐次线性方程组一样也用其自身的解来表示全部解呢？这是我们要讨论的问题。
设数域P上的线性方程组为
AX=B (1)对应齐次方程组可表为
AX=0 (2)若令α1,α2,L,αn为A的列向量则(1)还可表为x1α1+x2α2+L+xnαn=B,显然方程组(1)有解的充要条件是B可由α1,α2,L,αn线性表示。
在解决线性方程组有解的判定之后,进一步讨论线性方程组解的结构问题。在线性方程组解是唯一的情况下当然不存在什么结构问题。有许多解的情况下,第一文库网所谓的解的结构问题就是解与解之间的关系问题。同样分两种情况:1.B=O
定理1设齐次线性方程组(2)有非零解即r(A)=r
定理2(齐次线性方程组解的结构定理)设齐次线性方程组(2)中,r(A)=r
2.B≠O
定理3(非齐次线性方程组解的结构定理)设非齐次线性方程组(1)中,
r(A)=r(A
%)=r
是非齐次线性方程组(1)的
导出η1方,η2程,L组,ηn(2)?r
的一个基础解系,那么非齐次线性方程组(1)的全部解为
γ0+k1η1+k2η2+L+kn?rη,
n?r
其中k1,k2,L,kn?r∈P。
r(A)=r(A
上述3个定理在一般的线性代数教材%)=r
如果γ1,γ2,L,γn?r+1是它的n?r+1个线现在,我们比较上述两种情况,齐次线性无关解,那么非齐次线性方程组(1)的全性方程组解的结构是通过自身有限个解来部解为:γ=k1γ1+k2γ2+L+kn?r+1γn?r+1,其表示全部解的,而非齐次线性方程组解的中k1+k2+L+kn?r+1=1。
结构则是通过导出方程组的基础解系和它这样,关于非齐次线性方程组解的结自身的一个解来表示的。那么,非齐次线性构我们有定理3和定理4两种表达形式。可方程组是否也可以用自身的有限个解表示以证明两个定理是等价的。
全部解呢？我们构想非齐次线性方程组(1)在有无穷多解时的另一种解的结构。
参考文献
引理1设非齐次线性方程组(1)有无穷
[1]陈志杰著.高等代数与解析几何[M].北
多解,即r(A)=r(A
%)=r
n?r+1个线性无关解。
[2]王德生著.高等代数与解析几何习题解
引理2设非齐次线性方程组(1)中
析[M].大连:辽宁师范大学出版社,.
r(A)=r(A
%)=r
如果γ1,γ2,L,γn?r+1是它的n?r+1个线育出版社,1994.
性无关解,则当k1+k2+L+kn?r+1=1时,
[4]蔡光兴著.线性代数[M].北京:科学出
γ=k1γ1+k2γ2+L+kn?r+1γn?r+1是非齐次线性
版社,2002.
方程组(1)的一个解。
引理3设非齐次线性方程组(1)满足r(A)=r(A
%)=r
程组(1)的任意一个解γ都是γ1,γ2,L,γn?r+1的线性组合:γ=k1γ1+k2γ2+L+kn?r+1γn?r+1,其中k1+k2+L+kn?r+1=1。
从引理1与引理3可以得到以下的结论:
非齐次线性方程组(1)中r(A)=r(A%)=r
η1,η2,L,ηn?r是齐次线性方程组(2)的一个基
础解系,则γ0,γ0+η1,γ0+η2,…,γ0+ηn?r线性无关且非齐次线性方程组(1)的任意解
可表示为:
nr
γ=k?0γ0+∑ki(γ0+ηi)i=1
,
其中k0+k1+L+kn?r=1
这并不是一个一般的结论。
现在,把上面这个结论进一步深化我们就得到了非齐次线性方程组在有无穷多解的时候如何用自身的有限个解来表示它全部解的方法。
定理4 (非齐次线性方程组解的结构定理)设非齐次线性方程组(1)中,
科技创新导报 Science and Technology Innovation Herald33
篇2：线性方程组的解的结构
线性方程组的解的结构
本文对非齐次线性方程组进行了深入的讨论,并给出了另一种刻画非齐次线性方程组解的`结构的方法,即只用自身的有限个解来表示全部的解.从而使非齐次线性方程组解的结构更加完善.
作 者：刘勇 作者单位：大连交通大学理学院,辽宁大连,116028 刊 名：科技创新导报 英文刊名：SCIENCE AND TECHNOLOGY INNOVATION HERALD 年，卷(期)：2009 “”(35) 分类号：G642 关键词：线性方程组 线性无关 解的结构篇3：迭代法解线性方程组
下面是一篇关于迭代法解线性方程组的论文,对正在写有关数学论文的写作者有一定的参考价值和指导作用!
摘 要:现实生活中许多数学模型都可以归结为解线性方程组,线性方程组的解法有很多种,其中数值分析中迭代法是比较重要的一种。本文利用系数矩阵A的对角线上元素的和给出了线性方程组Ax=b的一种新的迭代格式。
关键词:数值分析迭代法线性方程组
在工程技术、自然科学和社会科学中的许多问题最终都可归结为解线性方程组,因此线性方程组的求解对于解决实际问题是极其重要的。线性方程组的解法有很多种,其中数值分析中的迭代法是比较重要的一种。
篇4：迭代法解线性方程组
Ax=b(其中A∈R,b∈R),(1)
经过变换构造出一个等价同解方程组:x=Mx+c,然后改写成Jacobi迭代式:
x=Mx+c(k=0,1,2,…),(2)
或者Gauss-Seidel迭代式:
x=Bx+Bx+c(k=0,1,2,…)(其中B+B=M),
选定初始向量:x=(x,x,…,x),反复不断地使用迭代式来构造一个序列:{x}(k=0,1,2,…)。如果{x}(k=0,1,2,…)收敛,它就是该方程组的近似解序列,否则它就没有实用价值。本文利用系数矩阵A的对角线上元素的和给出了系数为对称正定矩阵的线形方程组Ax=b的一种新的定常迭代格式,如果系数矩阵A为可逆的非正定矩阵,可以通过预处理转化为正定矩阵,令A:=AA,b:=Ab即可。且充分考虑加快计算速度。
一、收敛定理及证明
1.引理:如果M是一个n×n矩阵,对任意的n维向量c迭代格式(2)收敛的充分必要条件是ρ(M)<1,其中ρ(M)为矩阵的M谱半径。
证明见文献[1]。
2.定理1:如果A为对称正定n×n矩阵,则线形方程组Ax=b的迭代格式
x=[I-A]x+(3)
是收敛的。
证明见文献[3]。
对任意系数为正定矩阵的线性方程组,迭代格式(3)都是收敛的,因为收敛速度取决于迭代矩阵谱半径的大小,谱半径越小,收敛速度越快,谱半径越大,收敛速度越慢。但迭代格式(3)只能保证迭代矩阵的谱半径小于1,如果迭代矩阵的谱半径非常接近1,其收敛速度是非常慢的。
下面通过在迭代格式(3)中引入一个因子来改进收敛速度。
构造迭代格式:
{y=[I-A]x+b(4)
或者与(4)等价的迭代格式:
x=[I-A]x+b(5)
3.定理2:如果A为对称正定n×n矩阵,则线性方程组Ax=b的迭代格式(5)是收敛的。
证明:设λ(i=1,2,…,n)为A的n个特征值,因为A是对称正定矩阵,所以λ>0(i=1,2,…,n),λ+λ+…+λ=a+a+…+a。
I-A的n个特征值为1-(i=1,2,…,n),
显然-1<1-<1(i=1,2,…,n),
这样有ρ[I-A]<1,由引理知迭代格式(5)是收敛的。
如果正定线性方程组Ax=b的系数矩阵特征值的分布相对比较集中,还可以进一步对定理2的迭代格式进行改进,以加快计算速度。
当系数矩阵的特征值分布比较集中时,(i=1,2,…,n)近似等于,
即A的特征值近似等于。
构造迭代格式:
{y=[I-A]x+b(6)
或者与(6)等价的迭代格式:
x=[I-A]x+b(7)
因为当系数矩阵的特征值分布比较集中时,(i=1,2,…,n)近似等于,这时迭代格式(7)的'迭代矩阵[I-A]的谱半径就与0非常接近,从而使得收敛速度极快。
4.定理3:迭代格式(7)收敛的充分必要条件是:
<,i=1,2,…,n(8)
证明:迭代格式(7)收敛的充分必要条件是其迭代矩阵I-A的谱半径小于1,
而矩阵I-A的谱半径小于1的充分必要条件是:
<2,即<,i=1,2,…,n。
5.推论1:迭代格式(7)收敛的充分条件是λ≤2λ。
证:因为λ≤2λ,所以得到:<,i=1,2,…,n,
即迭代格式(7)是收敛的。
二、实验结果
在特征值分布比较集中时,分别用迭代格式(7)对应的算法(iterativen函数)与Gauss_seidel迭代算法、Cholesky分解算法对系数矩阵的阶数J=100,200,500,1000的4个线性方程组进行计算,对所耗时间进行比较,结果如下表:
Iterativen,Gauss_seidel,Cholesky算法耗时比较表
虽然Gauss_seidel算法的迭代次数比Iterativen算法少,但是Gauss_seidel算法在求逆的过程中浪费了大量的时间。当系数矩阵的特征值比较集中时,Iterativen算法要远远优于其他2种方法。
参考文献:
[1]Kelley C T.Iterative Methods for Linear and Nonlinear Equations[M].Philade-lphia U.S.A:SIAM,1995.
[2]张传林.数值方法[M].北京:中国科学文化出版社,:80-150.
[3]戈卢布・G.H,范洛恩・C.F著.袁亚湘译.矩阵计算[M].北京:科学出版社,.
[4]许波,刘征.Matlab工程数学应用[M].北京:清华大学出版社,.
[5]James W Demmel.Applied Numerical Linear Algebra[M].Philadelphia U.S.A:SIAM,.
篇5：解线性方程组的直接方法实验报告
解线性方程组的直接方法实验报告
1.实验目的：
1、通过该课题的实验，体会模块化结构程序设计方法的优点；
2、运用所学的计算方法，解决各类线性方程组的直接算法；
3、提高分析和解决问题的能力，做到学以致用；
4、通过三对角形线性方程组的解法，体会稀疏线性方程组解法的特点。
2.实验过程：
实验代码：
#include “stdio.h”
#include “math.h”
#include
using namespace std;
//Gauss法
void lzy(double a,double *b,int n)
{
int i,j,k;
double l,x[10],temp;
for(k=0;k
{
for(j=k,i=k;j
{
if(j==k)
temp=fabs(a[j][k]);
else if(temp
{
temp=fabs(a[j][k]);
i=j;
}
}
if(temp==0)
{
cout<<“无解 ” ;
return;
}
else
{
for(j=k;j
{
temp=a[k][j];
a[k][j]=a[i][j];
a[i][j]=temp;
}
temp=b[k];
b[k]=b[i];
b[i]=temp;
}
for(i=k+1;i
{
l=a[i][k]/a[k][k];
for(j=k;j
a[i][j]=a[i][j]-l*a[k][j];
b[i]=b[i]-l*b[k];
}
}
if(a[n-1][n-1]==0)
{
cout<<“无解 ” ;
return;
}
x[n-1]=b[n-1]/a[n-1][n-1];
for(i=n-2;i>=0;i--)
{
temp=0;
for(j=i+1;j
temp=temp+a[i][j][j];
x[i]=(b[i]-temp)/a[i][i];
}
for(i=0;i
{
printf(“x%d=%lf ”,i+1,x[i]);
printf(“ ”);
}
}
//平方根法
void pfg(double a,double *b,int n)
{
int i,k,m;
double x[8],y[8],temp;
for(k=0;k
{
temp=0;
for(m=0;m
temp=temp+pow(a[k][m],2);
if(a[k][k]
return;
a[k][k]=pow((a[k][k]-temp),1.0/2.0);
for(i=k+1;i
{
temp=0;
for(m=0;m
temp=temp+a[i][m]*a[k][m]; a[i][k]=(a[i][k]-temp)/a[k][k];
}
temp=0;
for(m=0;m
temp=temp+a[k][m]*y[m];
y[k]=(b[k]-temp)/a[k][k];
}
x[n-1]=y[n-1]/a[n-1][n-1];
for(k=n-2;k>=0;k--)
{
temp=0;
for(m=k+1;m
temp=temp+a[m][k][m];
x[k]=(y[k]-temp)/a[k][k];
}
for(i=0;i
{
printf(“x%d=%lf ”,i+1,x[i]);
printf(“ ”);
}
}
//追赶法
void zgf(double a,double *b,int n)
{
int i;
double a0[10],c[10],d[10],a1[10],b1[10],x[10],y[10]; for(i=0;i
{
a0[i]=a[i][i];
if(i
c[i]=a[i][i+1];
if(i>0)
d[i-1]=a[i][i-1];
}
a1[0]=a0[0];
for(i=0;i
{
b1[i]=c[i]/a1[i];
a1[i+1]=a0[i+1]-d[i+1]*b1[i];
}
y[0]=b[0]/a1[0];
for(i=1;i
y[i]=(b[i]-d[i]*y[i-1])/a1[i];
x[n-1]=y[n-1];
for(i=n-2;i>=0;i--)
x[i]=y[i]-b1[i][i+1];
for(i=0;i
{
printf(“x%d=%lf ”,i+1,x[i]);
printf(“ ”);
}
}
int main
{
int n,i,j;
double A,B,C,*B1,*B2,*B3;
A=(double )malloc(n*sizeof(double)); B=(double )malloc(n*sizeof(double));
C=(double )malloc(n*sizeof(double));
B1=(double *)malloc(n*sizeof(double));
B2=(double *)malloc(n*sizeof(double));
B3=(double *)malloc(n*sizeof(double));
for(i=0;i
{
A[i]=(double *)malloc((n)*sizeof(double)); B[i]=(double *)malloc((n)*sizeof(double)); C[i]=(double *)malloc((n)*sizeof(double)); }
cout<<“第一题(Gauss列主元消去法):”<
cin>>n;
cout<<“ 请输入系数矩阵 : ”;
for(i=0;i
for(j=0;j
篇6：解线性方程组的直接方法实验报告
1.实验目的.：
1、通过该课题的实验，体会模块化结构程序设计方法的优点；
2、运用所学的计算方法，解决各类线性方程组的直接算法；
3、提高分析和解决问题的能力，做到学以致用；
4、通过三对角形线性方程组的解法，体会稀疏线性方程组解法的特点。
2.实验过程：
实验代码：
#include “stdio.h”
#include “math.h”
#include
using namespace std;
//Gauss法
void lzy(double **a,double *b,int n)
{
int i,j,k;
double l,x[10],temp;
for(k=0;k
{
for(j=k,i=k;j
{
if(j==k)
temp=fabs(a[j][k]);
else if(temp
{
temp=fabs(a[j][k]);
i=j;
}
}
if(temp==0)
{
cout<<“无解 ” ;
return;
}
else
{
for(j=k;j
{
temp=a[k][j];
a[k][j]=a[i][j];
a[i][j]=temp;
}
temp=b[k];
b[k]=b[i];
b[i]=temp;
}
for(i=k+1;i
{
l=a[i][k]/a[k][k];
for(j=k;j
a[i][j]=a[i][j]-l*a[k][j];
b[i]=b[i]-l*b[k];
}
}
if(a[n-1][n-1]==0)
{
cout<<“无解 ” ;
return;
}
x[n-1]=b[n-1]/a[n-1][n-1];
for(i=n-2;i>=0;i--)
{
temp=0;
for(j=i+1;j
temp=temp+a[i][j]*x[j];
x[i]=(b[i]-temp)/a[i][i];
}
for(i=0;i
{
printf(“x%d=%lf ”,i+1,x[i]);
printf(“ ”);
}
}
//平方根法
void pfg(double **a,double *b,int n)
{
int i,k,m;
double x[8],y[8],temp;
for(k=0;k
{
temp=0;
for(m=0;m
temp=temp+pow(a[k][m],2);
if(a[k][k]
return;
a[k][k]=pow((a[k][k]-temp),1.0/2.0);
for(i=k+1;i
{
temp=0;
for(m=0;m
temp=temp+a[i][m]*a[k][m]; a[i][k]=(a[i][k]-temp)/a[k][k];
}
temp=0;
for(m=0;m
temp=temp+a[k][m]*y[m];
y[k]=(b[k]-temp)/a[k][k];
}
x[n-1]=y[n-1]/a[n-1][n-1];
for(k=n-2;k>=0;k--)
{
temp=0;
for(m=k+1;m
temp=temp+a[m][k]*x[m];
x[k]=(y[k]-temp)/a[k][k];
}
for(i=0;i
{
printf(“x%d=%lf ”,i+1,x[i]);
printf(“ ”);
}
}
//追赶法
void zgf(double **a,double *b,int n)
{
int i;
double a0[10],c[10],d[10],a1[10],b1[10],x[10],y[10]; for(i=0;i
{
a0[i]=a[i][i];
if(i
c[i]=a[i][i+1];
if(i>0)
d[i-1]=a[i][i-1];
}
a1[0]=a0[0];
for(i=0;i
{
b1[i]=c[i]/a1[i];
a1[i+1]=a0[i+1]-d[i+1]*b1[i];
}
y[0]=b[0]/a1[0];
for(i=1;i
y[i]=(b[i]-d[i]*y[i-1])/a1[i];
x[n-1]=y[n-1];
for(i=n-2;i>=0;i--)
x[i]=y[i]-b1[i]*x[i+1];
for(i=0;i
{
printf(“x%d=%lf ”,i+1,x[i]);
printf(“ ”);
}
}
int main
{
int n,i,j;
double **A,**B,**C,*B1,*B2,*B3;
A=(double **)malloc(n*sizeof(double)); B=(double **)malloc(n*sizeof(double));
C=(double **)malloc(n*sizeof(double));
B1=(double *)malloc(n*sizeof(double));
B2=(double *)malloc(n*sizeof(double));
B3=(double *)malloc(n*sizeof(double));
for(i=0;i
{
A[i]=(double *)malloc((n)*sizeof(double)); B[i]=(double *)malloc((n)*sizeof(double)); C[i]=(double *)malloc((n)*sizeof(double)); }
cout<<“第一题(Gauss列主元消去法):”<
cin>>n;
cout<<“ 请输入系数矩阵 : ”;
for(i=0;i
for(j=0;j
篇7：一种解病态线性方程组的神经网络算法
一种解病态线性方程组的神经网络算法
详细研究了求解病态线性方程组AX=b的神经网络算法,提出并证明了神经网络算法的收敛性定理,算法的收敛性定理为神经网络学习率的选择提供了理论依据.为了验证算法的有效性,给出了应用实例.研究结果表明了求解病态线性方程组的'神经网络算法是有效的.
作 者：陈内萍 CHEN Nei-Ping 作者单位：湖南商学院信息系,中国,长沙,410205 刊 名：湖南师范大学自然科学学报 ISTIC PKU英文刊名：JOURNAL OF NATURAL SCIENCE OF HUNAN NORMAL UNIVERSITY 年，卷(期)： 30(3) 分类号：O241.7 关键词：病态线性方程组 神经网络算法 收敛性 应用实例篇8：一类线性方程组的结构向后误差分析
一类线性方程组的结构向后误差分析
考虑如下结构线性方程组(A B C O)(x y)=(a b),其中A∈Rm×m,B∈Rm×n,C∈Rn×m.本文给出该类结构方程组的结构向后扰动误差的显式表达式.数值例子表明求解该类问题稳定的算法得到的`解不必是强稳定的.
作 者：陈小山 黎稳 Chen Xiaoshan Li Wen 作者单位：华南师范大学数学科学学院,广州,510631 刊 名：计算数学 ISTIC PKU英文刊名：MATHEMATICA NUMERICA SINICA 年，卷(期)：2007 29(4) 分类号：O24 关键词：强稳定性 结构向后误差 结构线性方程组
