构造解析几何模型巧解最值

“迪丽锅巴”通过精心收集，向本站投稿了7篇构造解析几何模型巧解最值，以下是小编帮大家整理后的构造解析几何模型巧解最值，仅供参考，大家一起来看看吧。

篇1：构造解析几何模型巧解最值

构造解析几何模型巧解最值

构造是一种重要的数学思想，它是创造力、想象力的较高表现形式.本文就结合一类求最值问题构造解析几何模型，以展现构造的巧妙之处.

【例1】 求f(α，β)=(cosα-5cosβ)2+(sinα+5-2sinβ)2的最大值和最小值.

解:将设w=(cosα-5cosβ)2+(sinα+5-2sinβ)2，则将w构造为动点P(cosα，sinα+5)与动点Q(5cosβ，2sinβ)的距离，又点P的轨迹为⊙A:x2+(y-5)2=1，点Q的轨迹为椭圆E:x225+y24=1，从而w可构造为圆⊙A上的点与椭圆E上的点之间的距离.

图1

设椭圆上任意一点M(x，y)，则|MA|=x2+(y-5)2.

由x225+y24=1可得x2=25(1-y24)，其中y∈[-2，2]，

∴|MA|=25(1-y24)+(y-5)2=-21y24-10y+50=-214(y+)2+115021(y∈[-2，2]).

显然，当y=-2021时，|MA|?max=115021，当y=2时，|MA|?min=3.

所以，w?max=(115021+1)2，w?min=(3-1)2=4.

【例2】 已知⊙O:x2+y2=1和定点A(2，1)，由⊙O外一点P(a，b)向⊙O引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|=|PA|.(1)求实数a，b间的等量关系;(2)若以P为圆心所作的⊙P与⊙O有公共点，试求半径取最小值时⊙P的方程.

解:(1)连接OP，因Q为切点，PQ⊥OQ，由勾股定理有|PQ|2=|OP|2-|OQ|2.

图2

又|PQ|=|PA|，故|PQ|2=|PA|2，

即(a2+b2)-12=(a-2)2+(b-1)2，

化简得实数a，b间的等量关系为:2a+b-3=0.

(2)由(1)知将动点P构造为直线L:2x+y-3=0上的动点，显然直线L与⊙O是相离关系.

这样要使以P为圆心所作的⊙P与⊙O有公共点且半径取最小，

只需OP⊥L于P且⊙P与⊙O外切时满足条件.

此时直线OP的方程为:y=12x，即x-2y=0.

由方程组2x+y-3=0，x-2y=0得x=65，y=35.

即满足条件的圆P的圆心为(65，35).

此时|OP|=|2×0+0-3|5=355，

∴R?min=|OP|-1=355-1.

∴满足条件的圆P的方程为:(x-65)2+(y-35)2=(355-1)2.

【例3】 设圆满足:①截y轴所得弦长为2;②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线L:x-2y=0

的距离最小的圆的方程.

图3-1

解:设圆的圆心为P(x，y)，半径为r，则点P到x轴、y轴的距离分别为|y|、|x|.

∵题设圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90°，

∴圆P截x轴的`弦长为2r，故r2=2y2.

又∵圆P截y轴所得的弦长为2，所以有r2=x2+1，从而得2y2-x2=1.

∴将动圆圆心P构造为双曲线E:2y2-x2=1上的动点，这样只需要求出双曲线E到直线L的距离的最小值.

设与直线L平行的且与双曲线E相切的直线L?1的方程为:x-2y+c=0，

由2y2-x2=1，x-2y+c=0，消去x得2y2-4cy+1+c2=0，

∴Δ=16c2-8(1+c2)=0.

∴c=±1.

当c=1时，x=1，y=1，此时r2=2y2=2;

当c=-1时，x=-1，y=-1，此时r2=2y2=2.

∴所求圆的方程是:(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2.

【例4】 若函数f(x)=k+2+x存在区间[a，b]，使f(x)在[a，b]上值域是[a，b]，求k的最大值.

图4

解:显然函数f(x)在定义域内单调递增，

∴由题意可得

a=k+2+a，b=k+2+b.

故a、b是方程x=k+2+x，即方程x+k+2=x

篇2：构造向量巧解数学题

构造向量巧解数学题

向量兼有数与形两大特征,向量的三种运算又能有效、简捷地描述图形中的数量关系和图形之间的.位置关系,加之向量与坐标系具有天然的联系,所有这些得天独厚的特性使得向量成为解决中学数学有关问题的强有力工具.

篇3：构造组合模型巧证组合恒等式

构造组合模型巧证组合恒等式

证明组合恒等式，一般是利用组合数的性质、数学归纳法、二项式定理等，通过一些适当的计算或化简来完成．但是，很多组合恒等式，也可直接利用组合数的意义来证明．即构造一个组合问题的模型，把等式两边看成同一组问题的两种计算方法，由解的唯一性，即可证明组合恒等式．

例1证明Cnm＝Cnm－1＋Cn－1m－1．

分析：原式左端为m个元素中取n个的组合数．原式右端可看成是同一问题的另一种算法：把满足条件的组合分为两类，一类为不取某个元素a1，有Cnm－1种取法．一类为必取a1有Cn－1m－1种取法．由加法原理可知原式成立．

例2证明Cnm・Cpn＝Cpm・Cn－pm－p．

分析：原式左端可看成一个班有m个人，从中选出n个人打扫卫生，在选出的n个人中，p人打扫教室，余下的n－p人打扫环境卫生的选法数．原式右端可看成直接在m人中选出p人打扫教室，在余下的m－p人中再选出n－p人打扫环境卫生．显然，两种算法计算的'是同一个问题，结果当然是一致的．

以上两例虽然简单，但它揭示了用组合数的意义证明组合恒等式的一般思路：先由恒等式中意义比较明显的一边构造一个组合问题的模型，再根据加法原理或乘法原理对另一边进行分析．若是几个数（组合数）相加的形式，可以把构造的组合问题进行适当分类，如例1，若是几个数（组合数）相乘的形式，则应进行适当的分步计算，如例2，当然，很多情况下是两者结合使用的．

例3证明Ckm＋n＝C0mCkn＋C1mCk－1n＋C2mCk－2n＋…＋CkmC0n，其中当p＞q时Cpq＝0．

证明：原式左边为m＋n个元素中选k个元素的组合数．今将这m＋n个元素分成两组，第一组为m个元素，剩下的n个元素为第二组，把取出的k个元素，按在第一组取出的元素个数i（i＝0，1，2，…，k）进行分类，这一类的取法数为CimCk－in．于是，在m＋n个元素中取k个元素的取法数又可写成?ki＝0CimCk－in．故原式成立．

例4证明

Cnn＋Cnn＋1＋Cnn＋2＋…＋Cnn＋m＝Cn＋1n＋m＋1．

证明：原式右边为m＋n＋1个元素中取n＋1个，元素的组合数，不失一般性，可以认为是在1，2，3，…，m＋n，m＋n＋1，共m＋n＋1个数中取n＋1个数．将取出的n＋1个数a1，a2…，an＋1由小到大排列，即设a1＜a2＜an＋1，按取出的最大数an＋1＝k＋1分类，显然k＝n，n＋1，…，n＋m．当k＝n＋i时（i＝0，1，2，…，m），这一类取法数为Cnn＋i，所以取法总数又等于?mi＝0Cnn＋i．原式成立．

对于某些组合恒等式，有时其左右两边所表示的意义都不易看出，但是如果根据组合数的特点仔细分析，或

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篇4：借助辅助模型巧解物理试题

借助辅助模型巧解物理试题

新课改给我们一线教师提出了新的挑战,我们应不断学习,努力提高自己,不断对做过的习题进行归类总结,探求新的方法,做到活学且活用,同时能不断地开拓自己的思路.

篇5：构造组合模型巧证组合恒等式 论文

构造组合模型巧证组合恒等式 论文

证明组合恒等式，一般是利用组合数的性质、数学归纳法、二项式定理等，通过一些适当的计算或化简来完成．但是，很多组合恒等式，也可直接利用组合数的意义来证明．即构造一个组合问题的模型，把等式两边看成同一组问题的两种计算方法，由解的唯一性，即可证明组合恒等式．

例1证明Cnm＝Cnm－1＋Cn－1m－1．

分析：原式左端为m个元素中取n个的组合数．原式右端可看成是同一问题的另一种算法：把满足条件的组合分为两类，一类为不取某个元素a1，有Cnm－1种取法．一类为必取a1有Cn－1m－1种取法．由加法原理可知原式成立．

例2证明Cnm・Cpn＝Cpm・Cn－pm－p．

分析：原式左端可看成一个班有m个人，从中选出n个人打扫卫生，在选出的n个人中，p人打扫教室，余下的n－p人打扫环境卫生的选法数．原式右端可看成直接在m人中选出p人打扫教室，在余下的m－p人中再选出n－p人打扫环境卫生．显然，两种算法计算的是同一个问题，结果当然是一致的．

以上两例虽然简单，但它揭示了用组合数的意义证明组合恒等式的一般思路：先由恒等式中意义比较明显的一边构造一个组合问题的模型，再根据加法原理或乘法原理对另一边进行分析．若是几个数（组合数）相加的形式，可以把构造的组合问题进行适当分类，如例1，若是几个数（组合数）相乘的形式，则应进行适当的分步计算，如例2，当然，很多情况下是两者结合使用的．

例3证明Ckm＋n＝C0mCkn＋C1mCk－1n＋C2mCk－2n＋…＋CkmC0n，其中当p＞q时Cpq＝0．

证明：原式左边为m＋n个元素中选k个元素的组合数．今将这m＋n个元素分成两组，第一组为m个元素，剩下的n个元素为第二组，把取出的k个元素，按在第一组取出的元素个数i（i＝0，1，2，…，k）进行分类，这一类的取法数为CimCk－in．于是，在m＋n个元素中取k个元素的取法数又可写成?ki＝0CimCk－in．故原式成立．

例4证明

Cnn＋Cnn＋1＋Cnn＋2＋…＋Cnn＋m＝Cn＋1n＋m＋1．

证明：原式右边为m＋n＋1个元素中取n＋1个，元素的组合数，不失一般性，可以认为是在1，2，3，…，m＋n，m＋n＋1，共m＋n＋1个数中取n＋1个数．将取出的n＋1个数a1，a2…，an＋1由小到大排列，即设a1＜a2＜an＋1，按取出的最大数an＋1＝k＋1分类，显然k＝n，n＋1，…，n＋m．当k＝n＋i时（i＝0，1，2，…，m），这一类取法数为Cnn＋i，所以取法总数又等于?mi＝0Cnn＋i．原式成立．

对于某些组合恒等式，有时其左右两边所表示的意义都不易看出，但是如果根据组合数的特点仔细分析，或对原式进行一些适当的变形，往往可以巧妙地构造一个组合问题做为模型，证明就可化难为易．

例5证明C1n＋2C2n＋3C3n＋…＋nCnn＝n2n－1．

分析：注意，原式左端等价于C11C1n＋C12C2n＋…＋C1nCnn，这里C1iCin可表示先在n个元素里选i个，再在这i个元素里选一个的组合数，可设一个班有n个同学，选出若干人（至少1人）组成一个代表团，并指定一人为团长．把这种选法按取到的人数i分类（i＝1，2，…，n），则选法总数即为原式左端．今换一种选法，先选团长，有n种选法，再决定剩下的n－1人是否参加，每人都有两种可能，所以团员的选法有2n－1种．即选法总数为n2n－1种．显然两种选法是一致的．

这里应注意2n的意义，并能用组合意义证明?ni＝0Cin＝2n．

例6证明

C1n＋22C2n＋32C3n＋…＋n2Cnn＝n（n＋1）2n－2．

分析：本题左边与例5左边类似，不同的是例5左边为?ni＝1iCin，而本题为?ni＝1i2Cin．只要在例5构造的模型中加上同时还要选一个干事，并且干事和团长可以是同一个人，即可符合原式左边．对原式右边我们可分为团长和干事是否是同一个人两类情况．若团长和干事是同一个人，则有n2n－1种选法；若团长和干事不是同一个人，则有n（n－1）2n－1种选法．所以，共有n2n－1＋n（n－1）2n－2＝n（n＋1）2n－2种选法．

例7证明

（C1n）2＋2（C2n）2＋3（C3n）2＋…＋n（Cnn）2＝nCn－12n－1．

分析：注意到（Cin）2＝CinCn－in，可设一个班有n个男生与n个女生，在这2n个学生中选n个同学（至少有1名男生）组成一个代表团，并指定其中一名男生为团长，按选出的男生人数i（i＝1，2，…，n）分类，这一类有iCinCn－in＝i（Cin）2种选法，总的选法有?ni＝1i（Cin）2种．原式右边的`组合意义是明显的，即直接在n个男生中选一名团长，有n种选法，再从剩下的2n－1人中选出n－1人为团员，共有nCn－12n－1种选法．

掌握了用组合意义证明组合恒等式这种方法后，还可通过构造一个组合问题的模型，编拟组合恒等式习题．如在例5中除了要选一名团长外，还要选一名干事和一名联络员（可以兼职）便可得?ni＝1i3Cin＝n2（n＋3）・2n－3．具体证法可参照例5与例6．又如，在例7中除了在2n个同学中选出n个团员及指定一名男生为团长外，还要有一名男生担任联络员（可以兼职），则可得组合恒等式：?ni＝1i2（Cin）2＝nCn－12n－1＋n（n－1）Cn－22n－2．若在例7中要求，留下的女生中再选一名负责人，则有组合恒等式?ni＝1i2（Cin）2＝n2Cn－12n－2．具体证明读者可自己完成．实际上习题的编拟过程就是用组合意义证明恒等式的过程．

若把恒等式中较简单的一边去掉，变为化简组合式，用此法同样能完成化简，读者可自己体会．

用组合数的意义证明组合恒等式，除了对提高学生的智力及观察分析问题的能力有帮助外，还有它独到的好处，那就是把抽象的组合数还原为实际问题，能提高学生应用数学知识解决实际问题的能力，把枯燥的公式还原为有趣的实例，能提高学生的学习兴趣．所以，老师在教学过程中适当介绍一些这方面的内容，将是大有益处的．

篇6：构造组合模型巧证组合恒等式 论文

构造组合模型巧证组合恒等式 论文

证明组合恒等式，一般是利用组合数的性质、数学归纳法、二项式定理等，通过一些适当的计算或化简来完成．但是，很多组合恒等式，也可直接利用组合数的意义来证明．即构造一个组合问题的模型，把等式两边看成同一组问题的两种计算方法，由解的唯一性，即可证明组合恒等式．

例1证明Cnm＝Cnm－1＋Cn－1m－1．

分析：原式左端为m个元素中取n个的组合数．原式右端可看成是同一问题的另一种算法：把满足条件的组合分为两类，一类为不取某个元素a1，有Cnm－1种取法．一类为必取a1有Cn－1m－1种取法．由加法原理可知原式成立．

例2证明Cnm・Cpn＝Cpm・Cn－pm－p．

分析：原式左端可看成一个班有m个人，从中选出n个人打扫卫生，在选出的n个人中，p人打扫教室，余下的n－p人打扫环境卫生的选法数．原式右端可看成直接在m人中选出p人打扫教室，在余下的m－p人中再选出n－p人打扫环境卫生．显然，两种算法计算的是同一个问题，结果当然是一致的．

以上两例虽然简单，但它揭示了用组合数的意义证明组合恒等式的.一般思路：先由恒等式中意义比较明显的一边构造一个组合问题的模型，再根据加法原理或乘法原理对另一边进行分析．若是几个数（组合数）相加的形式，可以把构造的组合问题进行适当分类，如例1，若是几个数（组合数）相乘的形式，则应进行适当的分步计算，如例2，当然，很多情况下是两者结合使用的．

例3证明Ckm＋n＝C0mCkn＋C1mCk－1n＋C2mCk－2n＋…＋CkmC0n，其中当p＞q时Cpq＝0．

证明：原式左边为m＋n个元素中选k个元素的组合数．今将这m＋n个元素分成两组，第一组为m个元素，剩下的n个元素为第二组，把取出的k个元素，按在第一组取出的元素个数i（i＝0，1，2，…，k）进行分类，这一类的取法数为CimCk－in．于是，在m＋n个元素中取k个元素的取法数又可写成?ki＝0CimCk－in．故原式成立．

例4证明

Cnn＋Cnn＋1＋Cnn＋2＋…＋Cnn＋m＝Cn＋1n＋m＋1．

证明：原式右边为m＋n＋1个元素中取n＋1个，元素的组合数，不失一般性，可以认为是在1，2，3，…，m＋n，m＋n＋1，共m＋n＋1个数中取n＋1个数．将取出的n＋1个数a1，a2…，an＋1由小到大排列，即设a1＜a2＜an＋1，按取出的最大数an＋1＝k＋1分类，显然k＝n，n＋1，…，n＋m．当k＝n＋i时（i＝0，1，2，…，m），这一类取法数为Cnn＋i，所以取法总数又等于?mi＝0Cnn＋i．原式成立．

对于某些组合恒等式，有时其左右两边所表示的意义都不易看出，但是如果根据组合数的特点仔细分析，或对原式进行一些适当的变形，往往可以巧妙地构造一个组合问题做为模型，证明就可化难为易．

例5证明C1n＋2C2n＋3C3n＋…＋nCnn＝n2n－1．

分析：注意，原式左端等价于C11C1n＋C12C2n＋…＋C1n

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篇7：巧借生活模型速解物理问题

巧借生活模型速解物理问题

摘 要：高中物理学是一门集逻辑思维能力、空间想象能力、数字建模运算能力等众多能力要求于一体的学科，是学生普遍认为难学的课程，特别是对于农村薄弱中学的学生更是如此。对此做了一定的尝试，现就如何借助生活模型帮助学生解决物理问题举例予以说明，以供交流学习。

关键词：物理；力学；问题

一、巧借漩涡模型，速解部分圆周运动问题

圆周运动，特别是天体的圆周运动因其涉及公式多且情景相对陌生而让学生心存畏惧，不敢动手。笔者在教学中发现，其中很多定性问题若借助漩涡模型进行讲解学生极易接受。因农村孩子对水的漩涡非常熟悉，看得多了也就知道一个泡沫在水中随漩涡运动的情况。以下举一个成功借助这一模型进行类比教学，学生反映非常容易接受的例子。

例1.（2004年上海）火星有两颗卫星，分别是火卫一和火卫二，它们的轨道近似为圆，已知火卫一的周期为7小时39分，火卫二的周期为30小时18分，则两颗卫星相比（ ）

①火卫一距火星表面较近②火卫二的角速度较大 ③火卫一的运动速度较大 ④火卫二的向心加速度较大

A.①② B.①③ C.②④ D.③④

析：此题是2004年上海市高考试题，难度不是很大，但要学生正确解答，必须对r、T、v、w、a的关系式非常熟悉，而问题往往就在公式的记忆上。如果借用漩涡模型，注意到题中火卫一的周期小于火卫二的周期，必定马上就有火卫一距火星表面近、线速度大、受向心力大等，由此选择B答案。根本用不着记忆公式。

类似的我们还可以把这一模型应用到电子绕核的圆周运动、带电粒子在点电荷场中的圆周运动及玻尔理论中原子的跃迁问题等定性问题中，非常简单易懂。

二、巧借蛋壳模型，速解相关力学问题

鸡蛋对农村的孩子来说并不陌生，都知道蛋壳从外面敲破较之从里面敲破费力（一只弱小的雏鸡就能破壳而出），但对下面这个问题就摸不着头脑了。

例2.古今中外的建筑家们为我们留下了一些形状怪异的建筑，其中较引人关注的是球形建筑，其超强的防振、抗拉性是我们没有想到的。并且这种建筑用料省、空间大，最近我国正在兴建的国家大剧院就是这种建筑。请你利用所学的知识回答一下这种建筑结构的仿生学依据是什么？其力学原理是什么？为什么这种建筑在最省料的同时能获得最大空间？由此你是否明白很多物体成球形的道理？

析：此问题实际上集中了力学的、几何的、建筑的等多种知识，要很轻易地做出解释是件困难的事，但是如果我们平时注意观察鸡蛋构造、思考“蛋壳理论”背后的东西，则此问题也就好处理了，至少不再感到陌生了。

三、巧借爬坡模型，速解波的传播问题

机械振动和机械波的'问题是整个力学知识的综合应用，由于该部分内容综合程度高、抽象且富于变化，学生普遍反映难学。特别是机械波的传播问题既涉及机械振动的相关知识又涉及波的传播问题，更是让学生倍感头痛。如何更通俗易懂地讲授这一问题呢？各种资料（参考书）上提供的方法可谓数不胜数，譬如，平移法、作图法、活塞法、特殊点法等，这些方法笔者在教学实施过程中发现：尽管教师讲解起来似乎挺容易的，但学生掌握的效果并不理想。平移法难在图象平移之后的作图（图象法也如此），教师往往忽视了作图就是我们的孩子天生畏惧之所在；活塞法也是笔者自己创的一种方法（假想在波形图的上方悬挂着可以上下自由移动的活塞，在波形图移动的过程中势必顶动活塞上下运动，活塞的上下运动及波形图的推动就反映了波的传播方向和质点振动方向的关系，示意图如下图1），但该法要求学生有较好的空间想象能力；特殊点法则要求学生在熟知波峰、波谷、平衡位置、周期、波长等概念的前提下学会选点并选好点，这又谈何容易呢？

通过反复的教学实验，笔者借助农村孩子的生活体验（爬坡）汲取他人教学模式创立了“爬坡逐阳法”。即：假想在波传播方向的反方向有一轮太阳，我们爬坡去追赶太阳，学生都有体会：追赶太阳就是面朝太阳，这时上坡下坡自然就很清楚了（示意图如下图2）。反映的规律则是“上则上，下则下”，学生一听就懂，一用就会。多年来我一直采取此法教学，学生反映很好。

其实可以用来帮助学生轻松自如地建立物理模型的生活现象很多。笔者曾在讲解热力学第二定律（ΔE=W+Q）时就借助一个人的得失体会来描述这一公式，不仅很容易就让学生掌握了符号规则，还能轻易渗透德育；而在讲解光电效应中入射光频率与光电子最大初动能及入射光强度与光电流强度的关系时就借用了生活中扔沙袋和扔沙子的生活事例等，学生很快就能掌握，这里由于版面关系就不再赘述了。总之，只要我们善于去发掘，生活中有很多现象和模型是可以用来辅助教学和激发学生学习物理学的兴趣的。

（作者单位 湖南省桃源县第四中学）