关于三角形的几个知识点（实用3篇）

1、多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350°，求这个多边形的边数？这个外角的度数？

解一：任何一个多边形的内角和都是180°的整数倍。1350°÷180°=7……90°余数90°就是多加了的外角，此多边形的内角和是1350°-90°=1260°设这个多边形的边数是n，则（n-2）×180°=1260°解得n=9是9边形

解二：设多边形的边数为n，某一个外角为α，则（n-2）×180+α=1350，

从而，因为边数n为正整数，所以α=90，n=9。

解三：设这个外角度数为x，根据题意，得（n-2）×180°+x=1350°，解得：x=1350°-180°n+360°=1710°-180°n，

由于0＜x＜180°，即0＜1710°-180°n＜180°，

解得8.5＜n＜9.5，所以n=9．故多边形的边数是9．

2、如图1，在△abc中，ob、oc是∠abc、∠acb的角平分线；

（1）填写下面的表格．

∠a的度数

∠boc的度数50°60°70°

（2）试猜想∠a与∠boc之间存在一个怎样的数量关系，并*你的猜想；

（3）如图2，△abc的高be、cd交于o点，试说明图中∠a与∠bod的关系．

分析：（1）由∠a=90°+∠boc，代入数值即可求得*；

（2）由在△abc中，ob、oc是∠abc、∠acb的角平分线，根据三角形的内角和定理即可求得∠obc+∠ocb的值，然后在△obc中，再利用三角形的内角和定理，即可求得*；

（3）由△abc的高be、cd交于o点，即可得∠bdc=∠bea=90°，然后利用同角的余角相等，即可求得∠a与∠bod的关系．

解：（1）

∠a的度数

∠boc的度数50°115°60°120°70°125°

（2）猜想：∠boc=90°+∠a．

理由：∵在△abc中，ob、oc是∠abc、∠acb的角平分线；

∴∠obc=∠abc，∠ocb=∠acb，

∵∠abc+∠acb=180°-∠a，

∴∠obc+∠ocb=（∠abc+∠acb）=（180°-∠a）=90°-∠a，

∴∠boc=180°-（∠obc+∠ocb）=180°-（90°-∠a

）=90°

+∠a．

（3）*：∵△abc的高be、cd交于o点，

∴∠bdc=∠bea=90°，

∴∠abe+∠bod=90°，∠abe+∠a=90°，

∴∠a=∠bod．

3、如图1，在△abc中ob，oc分别是△abc外角∠dbc，∠bce的角平分线，若∠a=x°，求∠boc度数；

（2）如图2，bo，co分别是△abc内角∠abc与外角∠acd的角平分线，若∠a=x°，求∠boc的度数．

分析：（1）根据三角形外角的*质和角平分线的*质表示出两个角的和，求出它们的一半，利用三角形内角和定理表示出来即可；

（2）根据三角形外角的*质和角平分线的*质表示出两角和的一半，用180°减去两角和的一半即可．

解：（1）∵∠dbc=∠a+∠acb，∠ecb=∠a+∠abc，

∴∠dbc+∠ecb

=∠a+∠acb+∠a+∠abc=180°+∠a=（180+x）°，

∵ob，oc分别是△abc外角∠dbc，∠bce的角平分线，

∴∠obc+∠ocb=（∠dbc+∠ecb）=（180+x）°，

∠boc=180°-（∠obc+∠ocb）=（90-x）°；

（2）∠acd=∠a+∠abc且bo，co分别是△abc内角∠abc与外角∠acd的角平分线，

∴∠ocb+∠obc=∠b+∠abc+∠acd=180°-x°，

∵∠o=180°-（∠ocb+∠obc）=180°-（180°-x°）=x°．关于三角形的几个知识点

知识点和习题-初二数学-相似三角形2

用心专心1放心

相似三角形

知识点1相似图形

形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.知识点2比例线段的相关概念

如果选用同一单位量得两条线段a,b的长度分别为m,n，那么就说这两条线段的比是

am

，或写成bn

a:bm:n．

注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位．

在四条线段a,b,c,d中，如果a和b的比等于c和d的比，那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段，简称比例线段．注意：

(1)当两个比例式的每一项都对应相同，两个比例式才是同一比例式．

(2)比例线段是有顺序的，如果说a是b,c,d的第四比例项，那么应得比例式为：知识点3比例的*质基本*质：

(1)a:bc:dadbc；

(2)a:cc:bcab．注意：

由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如adbc，除了可化为a:bc:d，还可化为a:cb:d，c:da:b，b:da:c，b:ad:c，c:ad:b，d:cb:a，d:bc:a．

更比*质(交换比例的内项或外项)：

2

bd．ca

ab

(交换内项)cd，



acdc，(交换外项)bdba

db

(同时交换内外项)ca．



反比*质(把比的前项、后项交换)：

acbd．bdac

合比*质：

acabcd．bdbd

注意：实际上，比例的合比*质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间

badc

acac

发生同样和差变化比例仍成立．如：等等．

bdabcd

abcd

等比*质：

如果

acemacema

(bdfn0)，那么．bdfnbdfnb

注意：

(1)此*质的*运用了“设k法”，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．(2)应用等比*质时，要考虑到分母是否为零．

(3)可利用分式*质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比*质也成立．如：

用心专心2放心

acea2c3ea2c3ea

；其中b2d3f0．bdfb2d3fb2d

3f

b

知识点4比例线段的有关定理平行线分线段成比例定理：

三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：

(1)平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．(2)平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例．定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形第三边．知识点5黄金分割

把线段ab分成两条线段ac,bc(acbc)，且使ac是ab和bc的比例中项，叫做把线段ab黄

金分割，点c叫做线段ab的黄金分割点，其中ac

51

ab≈0.618ab．2

知识点6相似三角形的概念

对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于”．

相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例．注意：

①对应*：即两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边．

②顺序*：相似三角形的相似比是有顺序的．③两个三角形形状一样，但大小不一定一样．

④全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．

知识点7相似三角形的基本定理

定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．定理的基本图形：

用数学语言表述是：de//bc，

ade∽abc．

知识点8相似三角形的等价关系

(1)反身*：对于任一abc有abc∽abc．

(2)对称*：若abc∽a'b'c'，则a'b'c'∽abc．

(3)传递*：若abc∽a'b'c，且a'b'c∽abc，则abc∽abc．知识点9三角形相似的判定方法

1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似．

2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．

用心专心3放心

3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两

个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．

4、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．6、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各种判定均适用．

(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．

(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．

直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

公式如图，rt△abc中，∠bac=90°，ad是斜边bc上的高，则有射影定理如下：（1）（ad）2=bd·dc，（2）（ab）2=bd·bc，（3）（ac）2=cd·bc。

*：在△bad与△acd中，∠b+∠c=90°，∠dac+∠c=90°，∴∠b=∠dac，又∵∠bda

=∠adc=90°，∴△bad∽△acd相似，∴ad/bd＝cd/ad，即（ad）2=bd·dc。其余类似可证。

注：由上述射影定理还可以*勾股定理。由公式（2）+（3）得：（ab）2+（ac）2=bd·bc+cd·bc=（bd+cd)·bc=（bc）2，

即（ab）2+（ac）2=（bc）2。

这就是勾股定理的结论。知识点10相似三角形*质

(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．

(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．(3)相似三角形周长的比等于相似比．

(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．

(5)相似三角形*质可用来*线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等．知识点11相似多边形

如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边的比叫做相似比(相似系数)．知识点12相似多边形的*质

(1)相似多边形周长比，对应对角线的比等于相似比．

(2)相似多边形中对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比．(3)相似多边形面积比等于相似比的平方．

注意：相似多边形问题往往要转化成相似三角形问题去解决，因此，熟练掌握相似三角形知识是基础和关键．

知识点13与位似图形有关的概念

1.如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应顶点的连线都交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形.

2.这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比.

拓展：

（1）位似图形是相似图形的特例，位似图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点.（2）位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形.

（3）位似图形的对应边互相平行或共线.知识点14位似图形的*质

位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.拓展：位似图形有许多*质，它具有相似图形的所有*质.知识点15画位似图形

1.画位似图形的一般步骤：（1）确定位似中心

（2）分别连接原图形中的关键点和位似中心，并延长（或截取）.（3）根据已知的位似比，确定所画位似图形中关键点的位置.（4）顺次连结上述得到的关键点，即可得到一个放大或缩小的图形.2.位似中心的选取：

（1）位似中心可以在图形外部，此时位似中心在两个图形中间，或在两个图形之外.（2）位似中心可取在多边形的一条边上.

（3）位似中心可取在多边形的某一顶点上.

说明：位似中心的选取决定了位似图形的位置，以上位似中心位置的选取中，每一种方法都能把一个图形放大或缩小.

知识点16相似三角形常见的图形

（1）若de∥bc（a型和x型）则△ade∽△abc

（2）射影定理若cd为rt△abc斜边上的高（双直角图形）

2

22

则rt△abc∽rt△acd∽rt△cbd且ac，bc=bd·ab

；

（3）满足1、ac=ad·ab，2

（4）当

adae

或ad·ab=ac·ae时，△ade∽△acb．（3）

（4）

练习题

1、如图1,∠adc=∠acb=900,∠1=∠b,ac=5,ab=6,则ad=______.2.如图2,ad∥ef∥bc,则图的相似三角形共有_____对.

3.如图3,正方形abcd中,e是ad的中点,bm⊥ce,ab=6,ce=35,则bm=______.

4.Δabc的三边长为2,,2,Δa'b'c'的两边为1和5,若Δabc∽Δa'b'c',则Δa'b'c'的笫三边长为________.

5.两个相似三角形的面积之比为1∶5,小三角形的周长为4,则另一个三角形的周长为_____.

6.如图4,rtΔabc中,∠c=900,d为ab的中点,de⊥ab,ab=20,ac=12,则四边形adec的面积为__________.7.如图5,rtΔabc中,∠acb=900,cd⊥ab,ac=8,bc=6,则

ad=____,cd=_______.

8.如图6,矩形abcd中,ab=8,ad=6,ef垂直平分bd,则ef=_________.9.如图7,Δabc中,∠a=∠dbc,bc=

,sΔbcd∶sΔabc=2∶3,则cd=______.

10.如图8,梯形abcd中,ad∥bc,两腰ba与cd的延长线相交于p,pf⊥bc,ad=3.6,bc=6,ef=3,则pf=_____.11.如图9,Δabc中,de∥bc,ad∶db=2∶3,则sΔade∶sΔabe

=___________.

12.如图10,正方形abcd内接于等腰Δpqr,∠p=900,则pa∶aq=__________.13.如图11,Δabc中,de∥fg∥bc,ad∶df∶fb=1∶2∶3,则s四边形dfge∶s四边形fbcg=_________.

14.如图12,Δabc中,中线bd与ce相交于o点,sΔade=1,则s四边形bcde=________.15.已知:如图,Δabc中,ce⊥ab,bf⊥ac.求证:Δaef∽Δacb.

用心专心6放心

16.已知:如图,Δabc中,∠abc=2∠c,bd平分∠abc.bc=ac·cd.求证:ab·

017.已知：Δacb为等腰直角三角形，∠acb=90延长ba至e，延长ab至f，

∠ecf=135。求证：Δeac∽Δcbf

18．已知:如图,Δabc中,ad=db,∠1=∠2.求证:Δabc∽Δead.

19．已知:如图,ce是rtΔabc的斜边ab上的高,bg⊥ap。

2

eb;(2)ae·eb=ed·ep求证:(1)ce=ae·

20已知，如图，在△abc中，d为bc的中点，且ad=ac，de⊥bc，de与

ab相交于点e，•ec与ad相交于点f．（1）求证：△abc∽△fcd；

（2）若s△fcd=5，bc=10，求de的长。

初中常考关于矩形的知识点3

导语：自觉心是进步之母，自贱心是堕落之源，故自觉心不可无，自贱心不可有。下面是小编为大家整理的：数学学习方法。希望对大家有所帮助,欢迎阅读，仅供参考，更多相关的知识，请关注CNFLA学习网!

矩形的判定

1.一个角是直角的平行四边形是矩形

2.对角线相等的平行四边形是矩形

3.有三个内角是直角的四边形是矩形

4.对角线相等且互相平分的四边形是矩形

矩形的计算公式

面积：

S=ab(注:a为长,b为宽)

周长：

C=2(a+b)(注:a为长,b为宽)

矩形外接圆

矩形外接圆半径R=对角线的一半

矩形的*质

1.矩形的4个内角都是直角;

2.矩形的对角线相等且互相平分;

3.矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等;

4.(对称轴是任何一组对边中点的连线)，它至少有两条对称轴。

5.矩形具有平行四边形的所有*质

6.顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形。