考研线性代数知识框架向量三种运算

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考研线性代数知识框架向量三种运算

篇1：考研线性代数知识框架向量三种运算

考研线性代数知识框架向量三种运算

理解了向量和向量组的定义之后，我们考虑向量有哪些运算。

对于矩阵，我们定义了三种运算：加法、数乘、转置和乘法。这些运算可以应用到向量上得到向量的相应运算。

向量的加法和数乘合起来称为线性运算。通过线性运算，我们可以定义向量的两个核心概念：线性表出和线性相关。

1. 线性表出

线性表出，顾名思义，就是用线性的方式表示出来。何为“线性的方式”，怎么表示出来的?我们看一个例子，对于向量组(1 0)，(0 1)和向量(2 3)，(2 3)如何用前两个向量构成的向量组表示?不难发现是(2 3)=2乘(1 0)+3乘(0 1)。大家看，等式的右端只有线性运算(加法和数乘)，这就是前面提到的“线性的方式”。这样我们称向量(2 3)可以由向量组(1 0)，(0 1)线性表出。注意到等号右面的式子是用线性的方式把向量(1 0)，(0 1)组合起来了，所以我们称之为(1 0)，(0 1)的一个线性组合。

这样我们就对线性组合及线性表出的概念有了个基本认识。这样是否就够了呢?当然不够。我们在学马克思主义哲学时有“由感性认识上升到理性认识”之说。理性认识更深刻，是对事物本质的把握。尽管感性认识、理性认识用在这里未必恰当，但道理是相通的。我们通过例子对概念的理解很难说把握住了概念的本质。要体会其本质，还是要从严格的定义出发。

这里要提醒广大考生：对于考研数学中的一些较难理解的概念，有同学觉得定义太抽象，进而放弃了对定义的理解，而试图通过具体的例子理解概念。觉得弄懂了例子，概念就算是理解了。这是不可靠的。从学知识的角度，弄懂例子谈不上理解了概念的内涵和外延;从考试的角度，考试考查的是考生对概念的理解和运用，某个具体的例子只是一种具体的应用，所以离考试要求有距离。

下面我们看一下线性组合和线性表出的定义：

对于任意一组实数k1，k2，…，kn，称k1乘alfa1+ k2乘alfa2+…+ kn乘alfan为向量组alfa1，alfa2，…，alfan的一个线性组合。

注意到对于同一个向量组，给定一组实数，则得到一个线性组合，可见一个向量组的线性组合有无穷多个。

若向量beta能写成alfa1，alfa2，…，alfan的一个线性组合，则称向量beta能由向量组alfa1，alfa2，…，alfan线性表出。

关于线性表出的定义需注意以下几点：

(1)实数k1，k2，…，kn(或称组合系数)可以全为零，这和线性相关的定义不同。

(2)零向量可以由任何同维的向量组线性表出(把实数k1，k2，…，kn取成全为零即可)。

考研线性代数知识框架向量三种运算 (3)向量组里任何一个向量可由向量组线性表出(把该向量对应的实数取成1，其余实数取成零即可)。

讨论完线性表出这个核心概念后，我们来讨论向量部分另一个核心概念：线性相关。

我们先看一个例子：

向量组I：(1 0)，(0 1)，(2 3);向量组II：(1 0)，(0 1).

我们观察向量组I，不难发现(2 3)可由其余向量(1 0)，(0 1)线性表出：(2 3)=2乘(1 0)+3乘(0 1)。也可以不太严格地理解成(2 3)为“冗余”向量(它的功能能由其余向量代替)。当然，该等式也能等价变形为2乘(1 0)+3乘(0 1)+(-1)乘(2 3)=(0 0)，也就是能找到不全为零的数2,3，-1把向量组I组合成零向量。我们把这种向量组称为线性相关的.向量组。有三个理解角度：1)存在不全为零的数将其组合起来构成零向量(即定义);2)至少存在一个向量能由其余向量线性表出(对应一个定理);3)向量组中有冗余向量(“朴素的理解方式”)。

再观察向量组II，发现其情况与向量组I正好相反。我们也可以从三个角度理解它：1)不存在不全为零的数将其组合起来构成零向量;2)不存在任何一个向量能由其余向量线性表出;3)向量组中没有冗余向量。另外，第1)点还可以等价地描述成：若用实数将向量组合起来使其为零向量，则这组实数必全为零。我们把这种向量组II这种类型的向量组称为线性无关的向量组。线性无关是和线性相关相对应的一个概念。

通过对上面这个小例子的分析，我们对线性相关和线性无关这两个概念有了基本认识。要想有更深刻的认识，我们需要深入探究其定义。这时可能有同学耐不住性子了：说了半天概念，这和咱们最终要讨论的向量组的秩有什么关系?印象里有个“极大线性无关组”的概念还没说?另外，矩阵的秩和向量组的秩有什么关系?秩有哪些应用?这些东西都没说呢!别急，罗马不是一天建成的。指望三篇文章把线性代数最难的两个概念彻底谈清楚还是要求有点高的。

篇2：考研线性代数知识框架向量组的秩

考研线性代数知识框架向量组的秩

一个矩阵的秩为2意味着什么?按照矩阵的秩的定义，我们可以得到该矩阵中非零子式的最高阶数为2。当然这是“直译”，有没有“意译”(或更利于解题的翻译方式)?有。可以这么翻译：该矩阵中存在2阶非零子式，且不存在3阶非零子式。前半句话怎么理解?这不就是“直译”的那句话的自然结果吗?或者反过来理解：试想，如果若这半句话不成立，即矩阵中不存在2阶非零子式，那矩阵中非零子式的最高阶数就不可能为2了(应小于或等于1)，这与已知条件矛盾。那么，根据前面的分析，这半句话等价于矩阵的秩大于等于2。类似的讨论可以对后半句话进行。不难得到这半句话等价于矩阵的小于等于2。这里有两个个问题：矩阵不存在3阶非零子式有几种情况呢?不难发现有两种：(1)矩阵没有3阶子式(跟别谈3阶非零子式了，如一个2乘2的矩阵);(2)矩阵有3阶子式，但3阶子式全为零。另一个问题，如果矩阵不存在3阶非零子式，那么有可能存在4阶及以上阶的非零子式吗?如果你对行列式的展开定理比较熟悉，应该不难得出答案。

推广一下，我们就得到了一般情况：

矩阵的秩为k等价于矩阵中非零子式的最高阶数为k，也等价于矩阵中存在k阶非零子式，且不存在k+1阶非零子式。

还有两个特殊情况需要我们注意：

矩阵的秩为1等价于矩阵中存在1阶非零子式，且不存在2阶非零子式。思考：什么是1阶子式?不就是矩阵的元素吗?那么1阶非零子式就是非零元素了。进一步，矩阵中存在1阶非零子式也即矩阵中存在非零元素。这有说明了什么呢?这说明矩阵不是零矩阵。再分析后半句话，2阶子式为零意味着什么?大家可以自己举个例子，是不是说明二阶行列式的元素按行按列成比例(这里的.成比例是广义的，比如二阶行列式有一行元素为零，那0除0理解成可以等于任何数)。进一步所有二阶子式全为零说明什么，是不是说明整个矩阵是按行按列成比例的?分析至此，秩为1的矩阵长什么样子大家应该有个印象了：存在非零元素，且按行按列成比例。

n阶方阵的秩为n等价于其自身取行列式后不为零。这个大家自己分析，应该不困难。这种情况矩阵的秩达到了最大值，秩是满的，我们称该矩阵满秩。

二、向量组的秩

要讨论向量组的秩，先要搞清楚什么是向量。其实咱们在中学就讨论过向量。中学数学对向量的定义是既有大小又有方向的量。中学物理中把向量称为矢量。那么线性代数中讨论的向量与中学接触过的向量是什么关系?

首先回顾一下，在中学我们是如何表示向量的。中学数学中主要讨论平面上的向量。平面上的向量是可以平行移动的。两个相互平行且长度相等的向量我们认为是相等的。好，假设在平面直角坐标系中，对于平面上的任何一个向量，我们总是可以将其平移至起点坐标原点重合。这时向量终点的坐标同时也是向量的坐标。这样，我们就可以用一个实数对表示一个平面向量了。

一个实数对实际是我们线性代数中的一个二维行向量。而线代中讨论的向量是任意n维的。所以线性代数中的向量可视为中学向量的推广。

下面是向量的数学定义：

由n个实数a1，a2，…，an构成的有序实数组(a1，a2，…，an)称为一个n维行向量。类似可定义列向量。

问个问题：向量和矩阵是什么关系?向量可视为特殊的矩阵(行数或列数为1的矩阵)。这是理解向量的一个很好的角度。因为学习向量时，我们已把矩阵讨论得很清楚了，所以通过矩阵理解向量就能省不少事。

知道了什么是向量，那什么是向量组呢?向量一般来说不是单独出现，而是成组出现的。我们把多个向量放在一起考虑，就构成了向量组。

当然向量组的严格数学定义也不难理解：由若干个同型向量构成的集合称为一个向量组。这里的“同型”可以理解成矩阵同型，也可以用向量的语言描述成：同为行向量或列向量且维数相同。