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小学奥数：数的整除数论讲解及习题
基本概念和符号
1. 整除： 当整数 a 除以自然数 b 得到整数商 c 且无余数时，则称 a 能被 b 整除，或 b 能整除 a，记作 b|a。
2. 常用符号： 整除符号“|”，不能整除符号“”; 因为符号“∵”，所以符号“∴”。
整除判断方法
1. 能被 2、5 整除： 末位数字能被 2、5 整除。
2. 能被 4、25 整除： 末两位数字所组成的数能被 4、25 整除。
3. 能被 8、125 整除： 末三位数字所组成的数能被 8、125 整除。
4. 能被 3、9 整除： 各个数位上数字的和能被 3、9 整除。
5. 能被 7 整除：
- 末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被 7 整除。
- 逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的 2 倍后能被 7 整除。
6. 能被 11 整除：
- 末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被 11 整除。
- 奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被 11 整除。
- 逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被 11 整除。
7. 能被 13 整除：
- 末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被 13 整除。
- 逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的 9 倍后能被 13 整除。
整除的*质
1. 设 a、b 能被 c 整除，则 (a+b) 和 (a-b) 也能被 c 整除。
2. 设 a 能被 b 整除，且 c 为整数，则 a 乘以 c 也能被 b 整除。
3. 设 a 能被 b 和 c 整除，则 a 也能被 b 和 c 的最小公倍数整除。
例题
在四位数 56□2 中，被覆盖的十位数分别等于几时，这个四位数分别能被 9、8、4 整除？
解：
能被 9 整除： 5+6+□+2=13+□ 应能被 9 整除，所以十位数应为 5，则四位数为 5652。
能被 8 整除： 6□2 应能被 8 整除，所以十位数应为 3 或 7，则四位数为 5632 或 5672。
能被 4 整除： □2 应能被 4 整除，所以十位数应为 1、3、5、7 或 9，则四位数为 5612、5632、5652、5672 或 5692。
整数拆分小学奥数整数数论练习题2
1、把50分拆成10个素数之和，要求其中最大的素数尽可能大，那么这个最大的素数是几?
2、把17分拆成若干个互不相等的质数之和，这些质数的连乘积最大是多少?
3、一个自然数，可以分拆成9个连续自然数之和，也可以分拆成10个连续自然数之和，还可以分拆成11个连续自然数之和。这个自然数最小是几?
4、100这个数最多能写成多少个不同的自然数之和?
5、有纸币60张，其中1分、1角、1元和10元各有若干张，问这些纸币的总面值是否能够恰好为100元?
6、有30个2分硬币和8个5分硬币，用这些硬币能构成的1分到1元之间的币值有多少种?
7、是否有若干个连续自然数，它们的和恰好等于64?
8、若干只外观相同的盒子摆成一排，小明把54个同样的小球放进这些盒子中后外出，小亮从每只盒子里取出一个小球，然后把这些取出的小球放进小球数最少的一个盒子中，再把盒子重新摆了一下。小明回来后仔细查看了每个盒子，却没有发现有人动过小球和盒子。那么一共有盒子多少只?
9、2000以内凡能拆成两个或两个以上连续自然数之和的所有自然数之和是多少?
10、有一把长度为13厘米却没有刻度的尺子，能否在上面画4条刻度线，使得这把尺子可以直接测量出1---13厘米的所有整厘米长度?
三年级奥数数论练习题数的整除3
能同时被2、5、7整除的最大五位数是多少？
下面一个19983位数33…3(991个3)□44…4(991个4)，中间漏写了一个数字(方框)。已知这个多位数被7整除。那么，中间方框内的数字是多少？
存在这样的两位数：它的两个数字之和能被4整除，而且比这个两位数大1的数，它的两个数字之和也能被4整除。所以这样的两位数的和是多少？
一个小于200的自然数，它的每位数字都是奇数，并且它是两个两位数的乘积。那么这个自然数是多少？
任取一个四位数乘以3456，用A表示其积的个位数字之和，用B表示A的个位数字之和，C表示B的个位数字之和。那么C是多少？
有0、1、4、7、9五个数字，从中选出四个数字组成不同的四位数。如果把其中能被3整除的四位数从小到大排列起来，第五个数的末位数字是多少？
如果六位数1992□□能被105整除，那么它的最后两位数是多少？
从左向右编号的1991名同学排成一行，从左向右1至11报数。报数为11的同学原地不动，其余同学出列，然后留下的同学再报数。第三次报数后，最后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是多少？
173□是四位数字，老师在这个□中先后添入3个数字，所得到的3个四位数，依次可被9、11、6整除。老师添入的3个数字的和是多少？
在1992后面补上三个数字，组成一个七位数，使它们能被2、3、5、11整除。这个七位数的最小值是多少？
