数列极限的证明（精选11篇）

“阿花爸爸”通过精心收集，向本站投稿了11篇数列极限的证明，以下是小编帮大家整理后的数列极限的证明，欢迎大家分享。

篇1：数列极限的证明

数列极限的证明

X1=2,Xn+1=2+1/Xn,证明Xn的极限存在，并求该极限

求极限我会

|Xn+1-A|<|Xn-A|/A

以此类推，改变数列下标可得 |Xn-A|<|Xn-1-A|/A ;

|Xn-1-A|<|Xn-2-A|/A;

……

|X2-A|<|X1-A|/A;

向上迭代，可以得到|Xn+1-A|<|Xn-A|/(A^n)

2

只要证明{x(n)}单调增加有上界就可以了。

用数学归纳法：

①证明{x(n)}单调增加。

x(2)=√[2+3x(1)]=√5>x(1);

设x(k+1)>x(k)，则

x(k+2)-x(k+1))=√[2+3x(k+1)]-√[2+3x(k)](分子有理化)

=[x(k+1)-3x(k)]/【√[2+3x(k+1)]+√[2+3x(k)]】>0。

②证明{x(n)}有上界。

x(1)=1<4，

设x(k)<4，则

x(k+1)=√[2+3x(k)]<√(2+3*4)<4。

3

当0

当0

构造函数f(x)=x*a^x(0

令t=1/a，则：t>1、a=1/t

且，f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t>1)

则：

lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x

=lim(x→+∞)[x'/(t^x)'](分子分母分别求导)

=lim(x→+∞)1/(t^x*lnt)

=1/(+∞)

=0

所以，对于数列n*a^n，其极限为0

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篇2：数列极限的证明

3.根据数列极限的定义证明：

(1)lim[1/(n的'平方)]=0

n→∞

(2)lim[(3n+1)/(2n+1)]=3/2

n→∞

(3)lim[根号(n+1)-根号(n)]=0

n→∞

(4)lim0.999…9=1

n→∞ n个9

5几道数列极限的证明题，帮个忙。。。Lim就省略不打了。。。

n/(n^2+1)=0

√(n^2+4)/n=1

sin(1/n)=0

实质就是计算题，只不过题目把答案告诉你了，你把过程写出来就好了

第一题，分子分母都除以n，把n等于无穷带进去就行

第二题，利用海涅定理，把n换成x，原题由数列极限变成函数极限，用罗比达法则(不知楼主学了没，没学的话以后会学的)

第三题，n趋于无穷时1/n=0，sin(1/n)=0

不知楼主觉得我的解法对不对呀limn/(n^2+1)=lim(1/n)/(1+1/n^2)=lim(1/n)/(1+lim(1+n^2)=0/1=0

lim√(n^2+4)/n=lim√(1+4/n^2)=√1+lim(4/n^2)=√1+4lim(1/n^2)=1

limsin(1/n)=lim[(1/n)*sin(1/n)/(1/n)]=lim(1/n)*lim[sin(1/n)]/(1/n)=0*1=0

篇3：数列极限的计算

数列极限的计算

极限概念有着深刻的思想性,它包含了事物的无限运动变化过程和无限逼近思想,体现了由有限到无限,近似到精确、量变到质变的`辩证思想,曾对教学发展和促进人类文明发挥过十分重要的作用.极限方法是辩证法在数学上的应用,是初等教学所没有的一套崭新的方法,它解决了“直与曲”,“近似与精确”的矛盾,是客观世界中由量变到质变的一种反映.数列极限是高等数学的重要组成部分,求数列极限的方法很多.本文总结出十余种类型的数列极限方法,讨论的内容涉及数列知识,Stolz定理,子序列的极限与函数的极限的关系,级数理论,上下极限,定积分理论,柯西收敛准则,泰朝展式,黎曼引理等,力求对数列极限的计算做一个总结.

篇4：《数列极限》优秀说课稿

《数列极限》优秀说课稿

一、关于教学目的的确定：

众所周知，对数列极限这个概念的理解可为今后高等数学的学习奠定基础，但由于学生对数列极限概念及其定义的数学语言表述的理解比较困难，这种理解上的困难将影响学生对后继知识的学习，因此，我从知识、能力、情感等方面确定了本次课的教学目标。

1．在知识上，使学生理解极限的概念，能初步利用极限定义确定某些简单的数列极限；

2．在能力上，培养学生观察、分析、概括的能力和在探索问题中的，由静态到动态、由有限到无限的辨证观点。体验“从具体到抽象，从特殊到一般再到特殊”的认识过程；

3．在情感上，通过介绍我国古代数学家刘徽的成就，激发学生的民族自尊心和爱国主义思想情感，并使他们对数列极限知识有一个形象化的了解。

二、关于教学过程的设计：

为了达到以上教学目的，根据北大附中教学传统把这次课连排两节。在具体教学中，根据“循序渐进原则”，我把这次课分为三个阶段：“概念探索阶段” ；“概念建立阶段” ；“概念巩固阶段”。下面我将对每一阶段教学中计划解决的主要问题和教学步骤作出说明。

（一） “概念探索阶段”

这一阶段要解决的主要问题在这一阶段的教学中，由于注意到学生在开始接触数列极限这个概念时，总是以静止的观点来理解这个描述变化过程的动态概念，总觉得与以前知识相比，接受起来有困难，似乎这个概念是突然产生的，甚至于不明概念所云，故我在这一阶段计划主要解决这样几个问题：

①使学生了解以研究函数值的变化趋势的观点研究无穷数列，从而发现数列极限的过程；

②使学生形成对数列极限的初步认识；

③使学生了解学习数列极限概念的'必要性。

2．本阶段教学安排我采取温故知新、推陈出新的教学过程，分三个步骤进行教学。

① 温故知新由于研究数列极限首先应对数列知识有一个清晰的了解，因此在具体教学中通过对教案中5个具体数列通项公式的思考让学生对数列通项公式这个概念产生回忆，指出以前研究数列都是研究的有限项的问题，现在开始研究无限项的问题。然后引导学生回忆数列是自变量为自然数的函数，通项公式就是以n为自变量的、定义域为自然数集的函数

篇5：数列有极限一定收敛吗

根据收敛定义就可以知道，对于数列an存在一个数A，无论给定一个多么小的'数e，都能找到数字N，使得n>N时，所有的|an－A|。

有极限是局部有界，收敛是整体有界。函数单调有界可能不存在极限（∞），数列单调有界必有极限。

通常收敛与有极限是同一个意思,但是有一个例外,就是如果极限时∞,我们说其发散。

收敛是一个经济学、数学名词，是研究函数的一个重要工具，是指会聚于一点，向某一值靠近。收敛类型有收敛数列、函数收敛、全局收敛、局部收敛。

令{an}为一个数列，且A为一个固定的实数，如果对于任意给出的b>0,存在一个正整数N，使得对于任意n>N,有|an-A|

篇6：数学数列的极限教案

一、教材分析

两个重要极限是在学生系统学习了数列极限、函数极限以及函数极限运算法则的基础上进行研究的，它在求函数极限中起着重要作用，也是今后研究各种基本初等函数求导公式的工具，所以两个重要极限应重点研究。

二、学情分析

一方面，学生已经学习了有界函数和无穷小乘积的极限，他们可以通过类比的方法研究这第一个重要极限，具备了接受新知识的基础；另一方面，学生基础比较薄弱，对以前所学的三角函数关系、二倍角公式等运用还不够熟练，所以现在在角的转化上面还存在一定困难。

三、教学目标

根据以上两点分析并结合本节教材的特点，现把本节课的目标、重点、难点定为：

教学目标：

（1）知识与技能：使学生掌握重要极限公式的特点及其变形式，并能运用其求某些函数极限；

（2）过程与方法：提高学生的自学意识，培养学生类比、观察、归纳、举一反三等方面的能力；

（3）情感态度与价值观：通过对重要极限公式的'研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯，同时激发学生的学习兴趣。

教学重点与难点：

重点：重要极限公式及其变形式

难点：的灵活应用

四、教法与学法的选择

本节课我是以学案为载体，采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题。

学法上以课前自学为主要方式，在引导分析时，留出学生的思考空间，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，让学生自己出题，把思路方法和需要解决的问题弄清。

五、教学环节的设计

（1）课前尝试

利用学案导学，让学生明确课前要做的作业，课堂采用的方法，需要达到的要求，在尝试练习中，让学生通过练习，类比，引入新课。

（2）课堂探究

通过学生探究讨论得出第一个重要极限以及这个极限公式的特点，再由学生举例说明这个重要极限类似的其他形式来认清它的结构特征，讲解这个重要极限的应用时，让学生自己尝试举例，从而使学生达到能够熟练应用举一反三的目的。

（3）课堂巩固

学生在课堂练习中巩固所学内容，从而提升对这一重要极限的认识。

（4）课后拓展

在课后拓展中让学生原有的知识网络的三角函数关系、二倍角公式和函数极限这些没有直接关系的知识，通过这第一个重要极限及其运用牢牢地联系在了一起。

篇7：求数列极限方法总结

求数列极限方法总结

极限是考研数学每年必考的内容,在客观题和主观题中都有可能会涉及到，平均每年直接考查所占的分值在10分左右，而事实上，由于这一部分内容的基础性，每年间接考查或与其他章节结合出题的比重也很大。极限的计算是核心考点，考题所占比重最大。熟练掌握求解极限的方法是得高分的关键。

极限无外乎出这三个题型：求数列极限、求函数极限、已知极限求待定参数。 熟练掌握求解极限的方法是的高分地关键, 极限的运算法则必须遵从,两个极限都存在才可以进行极限的运算,如果有一个不存在就无法进行运算。以下我们就极限的内容简单总结下。

极限的计算常用方法：四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限、利用泰勒公式求极限、夹逼定理、利用定积分求极限、单调有界收敛定理、利用连续性求极限等方法。

四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限是常用方法，在基础阶段的学习中是重点，考生应该已经非常熟悉，进入强化复习阶段这些内容还应继续练习达到熟练的程度;在强化复习阶段考生会遇到一些较为复杂的极限计算，此时运用泰勒公式代替洛必达法则来求极限会简化计算，熟记一些常见的麦克劳林公式往往可以达到事半功倍之效; 夹逼定理、利用定积分定义常常用来计算某些和式的极限，如果最大的分母和最小的分母相除的极限等于1，则使用夹逼定理进行计算，如果最大的分母和最小的分母相除的极限不等于1，则凑成定积分的定义的形式进行计算;单调有界收敛定理可用来证明数列极限存在，并求递归数列的极限。

与极限计算相关知识点包括：

连续、间断点以及间断点的分类：判断间断点类型的基础是求函数在间断点处的左右极限；

可导和可微，分段函数在分段点处的导数或可导性，一律通过导数定义直接计算或检验 存在的`定义是极限 存在；

渐近线，(垂直、水平或斜渐近线)；

多元函数积分学，二重极限的讨论计算难度较大，常考查证明极限不存在。

下面我们重点讲一下数列极限的典型方法。

求数列极限可以归纳为以下三种形式。

1.抽象数列求极限

这类题一般以选择题的形式出现, 因此可以通过举反例来排除。此外,也可以按照定义、基本性质及运算法则直接验证。

2.求具体数列的极限,可以参考以下几种方法：

利用单调有界必收敛准则求数列极限。首先,用数学归纳法或不等式的放缩法判断数列的单调性和有界性,进而确定极限存在性；其次,通过递推关系中取极限，解方程,从而得到数列的极限值。

利用函数极限求数列极限。如果数列极限能看成某函数极限的特例,形如,则利用函数极限和数列极限的关系转化为求函数极限,此时再用洛必达法则求解。

3.项和或项积数列的极限,主要有以下几种方法：

利用特殊级数求和法。如果所求的项和式极限中通项可以通过错位相消或可以转化为极限已知的一些形式，那么通过整理可以直接得出极限结果。

利用幂级数求和法。若可以找到这个级数所对应的幂级数,则可以利用幂级数函数的方法把它所对应的和函数求出,再根据这个极限的形式代入相应的变量求出函数值。

利用定积分定义求极限。若数列每一项都可以提出一个因子,剩余的项可用一个通项表示, 则可以考虑用定积分定义求解数列极限。

利用夹逼定理求极限。若数列每一项都可以提出一个因子,剩余的项不能用一个通项表示,但是其余项是按递增或递减排列的,则可以考虑用夹逼定理求解。

求项数列的积的极限,一般先取对数化为项和的形式,然后利用求解项和数列极限的方法进行计算。

篇8：证明极限不存在

证明极限不存在

二元函数的极限是高等数学中一个很重要的内容,因为其定义与一元函数极限的定义有所不同,需要定义域上的点趋于定点时必须以任意方式趋近,所以与之对应的证明极限不存在的方法有几种.其中有一种是找一种含参数的方式趋近,代入二元函数,使之变为一元函数求极限.若最后的极限值与参数有关,则说明二重极限不存在.但在证明这类型的.题目时,除了选y=kx这种趋近方式外,许多学生不知该如何选择趋近方式.本文给出证明一类常见的有理分式函数极限不存在的一种简单方法.例1[1]证明下列极限不存在:(1)lim(x,y)→(0,0)x4y2x6+y6;(2)lim(x,y)→(0,0)x2y2x2y2+(x-y)2.证明一般地,对于(1)选择当(x,y)沿直线y=kxy=kx趋近于(0,0)时,有lim(x,y)→(0,0)x4y2x6+y6=limx→0k2x6(1+k6)x6=k21+k6.显然它随着k值的不同而改变,故原极限不存在.对于(2)若仍然选择以上的趋近方式,则不能得到证明.实际上,若选择(x,y)沿抛物线y=kx2+x(k≠0)(x,y)→(0,0)趋近于(0,0),则有l..

2

是因为定义域D={(x,y)|x不等于y}吗，从哪儿入手呢，请高手指点

沿着两条直线 y=2x

y=-2x 趋于(0,0)时

极限分别为 -3 和 -1/3 不相等

极限存在的定义要求 延任何过(0,0)直线求极限时 极限都相等

篇9：证明极限不存在

lim(x^2-5y^2) / (x^2+3y^2)

=lim(x^2+3y^2) / (x^2+3y^2) - 8y^2 / (x^2+3y^2)

=1-lim8 / [(x/y)^2+3]

因为不知道x、y的大校

所以lim (x 和y)趋向于无穷大 (x^2-5y^2) / (x^2+3y^2)

篇10：证明极限不存在

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如图用定义证明极限不存在~谢谢!!

反证法

若存在实数L，使limsin(1/x)=L，

取ε=1/2，

在x=0点的任意小的邻域X内，总存在整数n，

①记x1(n)=1/(2nπ+π/2)∈X，有sin[1/x1(n)]=1，

②记x2(n)=1/(2nπ-π/2)∈X，有sin[1/x2(n)]=-1，

使|sin[1/x1(n)]-L|<1/3，

和|sin[1/x2(n)]-L|<1/3，

同时成立。

即|1-L|<1/2，|-1-L|<1/2，同时成立。

这与|1-L|+|-1-L|≥|(1-L)-(-1-L)|=2发生矛盾。

所以，使limsin(1/x)=L 成立的实数L不存在。

篇11：极限 定义证明

极限 定义证明

趋近于正无穷，根号x分之sinx等于0

x趋近于负1/2，2x加1分之1减4x的平方等于2

这两个用函数极限定义怎么证明?

x趋近于正无穷，根号x分之sinx等于0

证明：对于任意给定的ξ>0，要使不等式

|sinx/√x-0|=|sinx/√x|<ξ成立，只需要

|sinx/√x|^2<ξ^2,即sinx^2/x<ξ^2(∵x→+∞),则x>sinx^2/ξ^2,

∵|sinx| ≤1∴只需不等式x>1/ξ^2成立，

所以取X=1/ξ^2，当x>X时，必有|sinx/√x-0|<ξ成立，

同函数极限的定义可得x→+∞时，sinx/√x极限为0.

x趋近于负1/2，2x加1分之1减4x的平方等于2

证明：对于任意给定的ξ>0，要使不等式

|1-4x^2/2x+1-2|=|1-2x-2|=|-2x-1|=|2x+1|<ξ成立，只

需要0<|x+1/2|<ξ/2成立.所以取δ=ξ/2,则当0<|x+1/2|<δ时，必有

|1-4x^2/2x+1-2|=|2x+1|<ξ，

由函数极限的定义可得x→-1/2时，1-4x^2/2x+1的极限为2.

注意，用定义证明X走近于某一常数时的极限时，关键是找出那个绝对值里面X减去的那个X0.

记g(x)=lim[f1(x)^n+...+fm(x)^n]^(1/n)，n趋于正无穷;

下面证明limg(x)=max{a1,...am},x趋于正无穷。把max{a1,...am}记作a。

不妨设f1(x)趋于a;作b>a>=0,M>1;

那么存在N1,当x>N1,有a/M<=f1(x)

注意到f2的极限小于等于a，那么存在N2，当x>N2时，0<=f2(x)

同理，存在Ni，当x>Ni时，0<=fi(x)

取N=max{N1,N2...Nm};

那么当x>N,有

(a/M)^n<=f1(x)^n<=f1(x)^n+...fm(x)^n

所以a/M<=[f1(x)^n+...+fm(x)^n]^(1/n)

对n取极限，所以a/M<=g(x)N时成立;

令x趋于正无穷，

a/M<=下极限g(x)<=上极限g(x)<=b;

注意这个式子对任意M>1,b>a都成立，中间两个极限都是固定的数。

令M趋于正无穷，b趋于a;

有a<=下极限g(x)<=上极限g(x)<=a;

这表明limg(x)=a;

证毕;

证明有点古怪是为了把a=0的情况也包含进去。

还有个看起来简单些的方法

记g(x)=lim[f1(x)^n+...+fm(x)^n]^(1/n)，n趋于正无穷;

g(x)=max{f1(x),....fm(x)};

然后求极限就能得到limg(x)=max{a1,...am}。

其实这个看起来显然，但对于求极限能放到括号里面，但真要用极限定义严格说明却和上面的证明差不多。

有种简单点的方法，就是

max{a,b}=|a+b|/2+|a-b|/2 从而为简单代数式。

多个求max相当于先对f1，f2求max，再对结果和f3求，然后继续，从而为有限次代数运算式，

故极限可以放进去。

2

一)时函数的极限：

以 时 和 为例引入.

介绍符号: 的意义, 的'直观意义.

定义 ( 和 . )

几何意义介绍邻域 其中 为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.

例1验证 例2验证 例3验证 证 ……

(二)时函数的极限：

由 考虑 时的极限引入.

定义函数极限的“ ”定义.

几何意义.

用定义验证函数极限的基本思路.

例4 验证 例5 验证 例6验证 证 由 =

为使 需有 为使 需有 于是, 倘限制 , 就有

例7验证 例8验证 ( 类似有 (三)单侧极限:

1.定义：单侧极限的定义及记法.

几何意义: 介绍半邻域 然后介绍 等的几何意义.

例9验证 证 考虑使 的 2.单侧极限与双侧极限的关系:

Th类似有: 例10证明: 极限 不存在.

例11设函数 在点 的某邻域内单调. 若 存在, 则有

= §2 函数极限的性质(3学时)

教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。

教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。

教学重点：函数极限的性质及其计算。

教学难点：函数极限性质证明及其应用。

教学方法：讲练结合。

一、组织教学：

我们引进了六种极限: , .以下以极限 为例讨论性质. 均给出证明或简证.

二、讲授新课：

(一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.

1.唯一性:

2.局部有界性:

3.局部保号性:

4.单调性( 不等式性质 ):

Th 4若 和 都存在, 且存在点 的空心邻域,使 ， 都有 证 设 = ( 现证对 有 )

]:若在Th 4的条件中, 改“ ”为“ ”, 未必就有 以 举例说明.

5.迫敛性:

6.四则运算性质:( 只证“+”和“ ”)

(二)利用极限性质求极限： 已证明过以下几个极限：

(注意前四个极限中极限就是函数值 )

这些极限可作为公式用. 在计算一些简单极限时, 有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.

利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质, 把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值, 即计算得所求极限.

例1( 利用极限 和 )

例2例3]:关于 的有理分式当 时的极限.

例4 [ 利用公式 ]

例5例6例7

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